Does this mean something like appealing to someone’s sense of compassion when you’re at their mercy?

Да, что-то вроде этого.
Очень неформальное выражение, полушутливое - в отличие от, например "взывать к чувству сострадания/жалости"

Aha! To tug at someone’s heartstrings 😉

http://slovoborg.su/definition/Давить%2Bна%2Bжалость

В русском есть еще "играть на (струнах) жалости" - практически то же самое, что и "давить на", но менее неформальное

Good to know. Thank you

By the by, how do you say “good to know“ in Russian?

буду знать (?)

add your translation

Oh ok, that simple.