tori

Each torus meets the plane in a circle; the section through the nested tori therefore contains infinitely many circles having a common center.

Каждый тор пересекается с этой плоскостью по окружности, поэтому сечение вложенных торов содержит бесконечно много окружностей с общим центром.

Diacu, Florin,Holmes, Philip / Celestial encounters: the origins of chaos and stabilityДиаку, Флорин,Холмс, Филип / Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Диаку, Флорин,Холмс, Филип

© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», перевод на русский язык, 2004

© Princeton University Press. 1996

Celestial encounters: the origins of chaos and stability

Diacu, Florin,Holmes, Philip

© 1996 by Florin Diacu and Philip Holmes

However, these particular tori arose in the 19th century from a very natural source: as Jacobian Varieties of compact Riemann Surfaces.

Однако именно эти торы возникли в XIX в. вполне естественным образом — как многообразия Якоби компактных римановых поверхностей.

Mumford, David / Tata Lectures on ThetaМамфорд, Д. / Лекции о тэта-функциях

Лекции о тэта-функциях

Мамфорд, Д.

© Birkhäuser Boston, 1983, 1984

© перевод на русский язык, с добавлением, «Мир», 1988

Tata Lectures on Theta

Mumford, David

©2007 Birkhauser Boston

To picture it, we will represent the tori by points and their stable and unstable manifolds by curves.

Чтобы изобразить ее, представим торы точками, а их устойчивые и неустойчивые многообразия — кривыми.

Diacu, Florin,Holmes, Philip / Celestial encounters: the origins of chaos and stabilityДиаку, Флорин,Холмс, Филип / Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Диаку, Флорин,Холмс, Филип

© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», перевод на русский язык, 2004

© Princeton University Press. 1996

Celestial encounters: the origins of chaos and stability

Diacu, Florin,Holmes, Philip

© 1996 by Florin Diacu and Philip Holmes

Points on the circles corresponding to tori with rational frequency ratios are rotated through rational angles, and we speak of rational or resonant circles.

Точки на окружностях, соответствующих торам с рациональными отношениями частот, поворачиваются на рациональные углы, и мы говорим о рациональных или резонантных окружностях.

Diacu, Florin,Holmes, Philip / Celestial encounters: the origins of chaos and stabilityДиаку, Флорин,Холмс, Филип / Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Диаку, Флорин,Холмс, Филип

© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», перевод на русский язык, 2004

© Princeton University Press. 1996

Celestial encounters: the origins of chaos and stability

Diacu, Florin,Holmes, Philip

© 1996 by Florin Diacu and Philip Holmes

Will all the invariant tori be destroyed?

Разрушатся ли все инвариантные торы?

Diacu, Florin,Holmes, Philip / Celestial encounters: the origins of chaos and stabilityДиаку, Флорин,Холмс, Филип / Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Диаку, Флорин,Холмс, Филип

© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», перевод на русский язык, 2004

© Princeton University Press. 1996

Celestial encounters: the origins of chaos and stability

Diacu, Florin,Holmes, Philip

© 1996 by Florin Diacu and Philip Holmes

In this way Andrei Nikolaevich Kolmogorov raised the question of invariant tori and stated his theorem on their persistence under perturbation.

Таким образом, Андрей Николаевич Колмогоров поставил вопрос об инвариантных торах и сформулировал свою теорему об их сохранении под действием возмущения.

Diacu, Florin,Holmes, Philip / Celestial encounters: the origins of chaos and stabilityДиаку, Флорин,Холмс, Филип / Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Диаку, Флорин,Холмс, Филип

© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», перевод на русский язык, 2004

© Princeton University Press. 1996

Celestial encounters: the origins of chaos and stability

Diacu, Florin,Holmes, Philip

© 1996 by Florin Diacu and Philip Holmes

Of course, the dimensions of the tori and of the manifolds can be high.

Безусловно, размерности торов и многообразий могут быть высокими.

Diacu, Florin,Holmes, Philip / Celestial encounters: the origins of chaos and stabilityДиаку, Флорин,Холмс, Филип / Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Диаку, Флорин,Холмс, Филип

© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», перевод на русский язык, 2004

© Princeton University Press. 1996

Celestial encounters: the origins of chaos and stability

Diacu, Florin,Holmes, Philip

© 1996 by Florin Diacu and Philip Holmes

That is why the mapping class group of the double torus has the beautiful presentation I put in the table above. Here is a way to see why the algebraic and the topological whorls are the same.

Поэтому-то группа классов преобразований кренделя и обладает красивым заданием, указанным в табл. 1, и это один из способов увидеть, почему алгебраические и топологические завитки-одно и то же.

Francis, George / A topological picturebookФрансис, Дж. / Книжка с картинками по топологии

Книжка с картинками по топологии

Франсис, Дж.

© 1987 by Springer-Verlag New York Inc.

© перевод на русский язык, Н. Ю. Нецветаев, 1991

A topological picturebook

Francis, George

© 1987 by Springer-Verlag New York Inc.

Choose an irrational number a, and let A be the algebra of all continuous functions on the torus whose Fourier coefficients (F) vanish outside the half-plane where (F).

Выберем иррациональное число а и примем за А алгебру всех непрерывных функций на торе, коэффициенты Фурье которых (F) равны 0 в полуплоскости (F).

Гофман, К. / Банаховы пространства аналитических функцийHoffman, Kenneth / Banach spaces of analytic functions

Banach spaces of analytic functions

Hoffman, Kenneth

© 1962 by Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J.

Банаховы пространства аналитических функций

Гофман, К.

This particular element of the mapping class group of the torus is not the identity, it has order four.

Рассматриваемый конкретный элемент группы классов преобразований тора не тривиален, его порядок равен четырём.

Francis, George / A topological picturebookФрансис, Дж. / Книжка с картинками по топологии

Книжка с картинками по топологии

Франсис, Дж.

© 1987 by Springer-Verlag New York Inc.

© перевод на русский язык, Н. Ю. Нецветаев, 1991

A topological picturebook

Francis, George

© 1987 by Springer-Verlag New York Inc.

There is another way of modifying a torus which has been cut open along a meridian.

С тором, разрезанным по меридиану, можно поступить и по-другому.

Francis, George / A topological picturebookФрансис, Дж. / Книжка с картинками по топологии

Книжка с картинками по топологии

Франсис, Дж.

© 1987 by Springer-Verlag New York Inc.

© перевод на русский язык, Н. Ю. Нецветаев, 1991

A topological picturebook

Francis, George

© 1987 by Springer-Verlag New York Inc.

At that moment, the part of the tube that passes through diametrically opposite points of the torus and rigidly connected with it, takes the form of a straight line.

При этом кусочек трубки, проходящий через диаметрально противоположные точки тора и жестко связанный с ним, принимает форму прямой.

http://www.patentlens.net/ 26.12.2011

http://www.patentlens.net/ 26.12.2011

So, within the limits of every torus the tube accepts the piecewise-straight direction.

Итак, в пределах каждого тора трубка принимает кусочно-прямое направление.

http://www.patentlens.net/ 26.12.2011

http://www.patentlens.net/ 26.12.2011

When the two are related by a rational number, we say that the resulting periodic orbits lie on a resonant torus, and when the relation is irrational, a nonresonant one.

Когда они связаны рациональным числом, мы говорим, что результирующие периодические орбиты лежат на резонансном торе, а когда их связь иррациональна, то эти орбиты лежат на нерезонансном торе.

Diacu, Florin,Holmes, Philip / Celestial encounters: the origins of chaos and stabilityДиаку, Флорин,Холмс, Филип / Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Диаку, Флорин,Холмс, Филип

© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», перевод на русский язык, 2004

© Princeton University Press. 1996

Celestial encounters: the origins of chaos and stability

Diacu, Florin,Holmes, Philip

© 1996 by Florin Diacu and Philip Holmes

The technique in the above proof can be used, in place of the signature of a knot, to show for example that any nontrivial torus knot in S3 has infinite order in the Fox-Milnor knot cobordism group

Например, вместо сигнатуры узла можно использовать технику вышеизложенного доказательства для того, чтобы показать, что любой нетривиальный торический узел в S3 имеет бесконечный порядок в группе Фокса Милнора кобордизмов узлов

Bredon, Glen / Introduction to compact transformation groupsБредон, Г. / Введение в теорию компактных групп преобразований

Введение в теорию компактных групп преобразований

Бредон, Г.

© Перевод на русский язык. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 1980

Introduction to compact transformation groups

Bredon, Glen

© 1972, by Academic Press, Inc.