я бы добавил "now" в конце, чтобы передать русское "уже". И артикль перед cartoons не нужен, watch cartoons - род деятельности (если, конечно, речь не идёт о каких-то конкретных мультиках по контексту).

Перевод правильный, have been doing somethings - это означает продолжительность действия, то что началось раньше, в настоящий момент продолжается

Только без артикля the.

I've been watching cartoons for two hours.