rational number

It is very easy to prove that there is only one representation of a given rational number as a continued fraction.

Легко доказать, что имеется только одно представление данного рационального числа непрерывной дробью.

Davenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of NumbersДэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

Let a be any rational number.

Пусть а — произвольное рациональное число.

Sanin, A. / Constructive real numbers and constructive function spacesШанин, А. / КОНСТРУКТИВНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

КОНСТРУКТИВНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Шанин, А.

Constructive real numbers and constructive function spaces

Sanin, A.

© 1968 by the American Mathematical Society

Now we associate with each rational number a certain canonical word in the alphabet.

Теперь поставим в соответствие каждому рациональному числу определенное каноническое слово в алфавите.

Sanin, A. / Constructive real numbers and constructive function spacesШанин, А. / КОНСТРУКТИВНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

КОНСТРУКТИВНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Шанин, А.

Constructive real numbers and constructive function spaces

Sanin, A.

© 1968 by the American Mathematical Society

On combining these equations we obtain the development of the rational number -— in the form oil

Комбинируя последние равенства, мы приходим к следующему разложению числа

Courant, Richard,Robbins, Herbert / What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and MethodsКурант, Р.,Роббинс, Г. / Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов

Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов

Курант, Р.,Роббинс, Г.

© МЦНМО, 2001

What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods

Courant, Richard,Robbins, Herbert

© 1941 (renewed 1969) by Richard Courant

© 1996 by Oxford University Press, Inc.

When the two are related by a rational number, we say that the resulting periodic orbits lie on a resonant torus, and when the relation is irrational, a nonresonant one.

Когда они связаны рациональным числом, мы говорим, что результирующие периодические орбиты лежат на резонансном торе, а когда их связь иррациональна, то эти орбиты лежат на нерезонансном торе.

Diacu, Florin,Holmes, Philip / Celestial encounters: the origins of chaos and stabilityДиаку, Флорин,Холмс, Филип / Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости.

Диаку, Флорин,Холмс, Филип

© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», перевод на русский язык, 2004

© Princeton University Press. 1996

Celestial encounters: the origins of chaos and stability

Diacu, Florin,Holmes, Philip

© 1996 by Florin Diacu and Philip Holmes

For each i select a rational number rt with only powers of p in the denominator, and approximating bt very closely at p.

Для каждого i выберем рациональное число rt имеющее знаменателем степень числа р и близкое к bt в точке р.

Lang, Serge / Elliptic FunctionsЛенг, Серж / Эллиптические функции

Эллиптические функции

Ленг, Серж

© 1973 by Addison- Wesley Publishing Company, Inc.

© Перевод на русский язык. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1984

Elliptic Functions

Lang, Serge

© 1987 by Springer-Verlag New York Inc.

We denote the rational number F also by F and define F.

Рациональное число F обозначим через F и положим F.

Хирцебрух, Фридрих / Топологические методы в алгебраической геометрииHirzebruch, Friedrich / Topological Methods in Algebraic Geometry

Topological Methods in Algebraic Geometry

Hirzebruch, Friedrich

© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1956,1962,1966 and 1978

Топологические методы в алгебраической геометрии

Хирцебрух, Фридрих

© Перевод на русский язык, «Мир», 1973

In the sequel the letter a will denote a fixed rational number satisfying the condition.

В дальнейшем изложении буква а будет обозначать фиксированное рациональное число, удовлетворяющее условию.

Sanin, A. / Constructive real numbers and constructive function spacesШанин, А. / КОНСТРУКТИВНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

КОНСТРУКТИВНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И КОНСТРУКТИВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Шанин, А.

Constructive real numbers and constructive function spaces

Sanin, A.

© 1968 by the American Mathematical Society

If we develop a rational number F into a continued fraction, the convergents to that continued fraction constitute a sequence of a rational numbers, the last of which is r itself.

Если рациональнее число F разложить в непрерывную о дробь, то подходящие этой непрерывной дроби образуют последовательность рациональных чисел, последнее из которых равно самой дроби.

Davenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of NumbersДэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

The problem of the representation of rational numbers by full forms is much easier and is essentially solved.

Что касается задачи о представлении рациональных чисел полными формами, то она намного проще и решена до конца.

Borevich, Z.I.,Shafarevich, I.R. / Number TheoryБоревич, З.И.,Шафаревич И. Р. / Теория чисел

Теория чисел

Боревич, З.И.,Шафаревич И. Р.

Number Theory

Borevich, Z.I.,Shafarevich, I.R.

© 1966, by Academic Press Inc.

The purely arithmetical significance of the system of all rational numbers—integers and fractions, positive and negative—is now apparent.

Теперь нам ясны принципы, согласно которым сконструирована система всех рациональных чисел —целых и дробных, положительных и отрицательных.

Courant, Richard,Robbins, Herbert / What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and MethodsКурант, Р.,Роббинс, Г. / Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов

Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов

Курант, Р.,Роббинс, Г.

© МЦНМО, 2001

What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods

Courant, Richard,Robbins, Herbert

© 1941 (renewed 1969) by Richard Courant

© 1996 by Oxford University Press, Inc.

This gives a final solution to the problem of integral representation of rational numbers by full decomposable forms.

Тем самым нами до конца решена также задача о целочисленных представлениях рациональных чисел полными разложимыми формами.

Borevich, Z.I.,Shafarevich, I.R. / Number TheoryБоревич, З.И.,Шафаревич И. Р. / Теория чисел

Теория чисел

Боревич, З.И.,Шафаревич И. Р.

Number Theory

Borevich, Z.I.,Shafarevich, I.R.

© 1966, by Academic Press Inc.

The base field here is the rational numbers Q.

Основным полем здесь является Q.

Cox, David,Little, John,O'Shea, Donal / Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative AlgebraКокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал / Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры

Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

© перевод на русский язык, «Мир», 2000

Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Cox, David,Little, John,O'Shea, Donal

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

By the Corollary to the Hasse-Minkowski theorem, which has already been proved for forms in two and three variables, we find that the forms g and h represent a in the field of rational numbers.

По следствию теоремы Минковского — Хассе, которое для форм от двух и трех переменных уже доказано, получаем, что формы g и h представляют айв поле рациональных чисел.

Borevich, Z.I.,Shafarevich, I.R. / Number TheoryБоревич, З.И.,Шафаревич И. Р. / Теория чисел

Теория чисел

Боревич, З.И.,Шафаревич И. Р.

Number Theory

Borevich, Z.I.,Shafarevich, I.R.

© 1966, by Academic Press Inc.

In other words, the totality of real numbers presents a radically different and, so to speak, higher type of infinity than that of the integers or of the rational numbers alone.

Другими словами, совокупность всех действительных чисел совершенно иного (так сказать более высокого) «типа бесконечности», чем совокупность одних только целых или одних только рациональных чисел.

Courant, Richard,Robbins, Herbert / What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and MethodsКурант, Р.,Роббинс, Г. / Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов

Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов

Курант, Р.,Роббинс, Г.

© МЦНМО, 2001

What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods

Courant, Richard,Robbins, Herbert

© 1941 (renewed 1969) by Richard Courant

© 1996 by Oxford University Press, Inc.