on the supposition of smth. — предполагая что-л., в ожидании чего-л.
to make a supposition — выдвинуть гипотезу, сделать предположение
I reject the supposition that she stole the money. — Я категорически отвергаю предположение о том, что она украла деньги.
This calculation goes on the supposition that each mower dispatches three acres. — Этот расчёт основан на предположении, что каждый косец обрабатывает три акра.