базис

Пусть (F) - какой-нибудь порождающий базис оператора А. Обозначим через замыкание линейной оболочки множества всех векторов (F) при рассматриваемом (F).

If (F) is a generating basis of the operator A then we denote the closure of the linear envelope of the set of all vectors (F) for fixed (F) by (F).

Ахиезер, Н. И.,Глазман, И. М. / Теория линейных операторов в гильбертовом пространствеAkhiezer, N.,Glazman, I. / Theory of linear operators in Hilbert space

Theory of linear operators in Hilbert space

Akhiezer, N.,Glazman, I.

Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве

Ахиезер, Н. И.,Глазман, И. М.

Более того, базис Грёбнера идеала I является его базисом.

Furthermore, any Groebner basis for an ideal I is a basis of I.

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал / Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебрыCox, David,Little, John,O'Shea, Donal / Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Cox, David,Little, John,O'Shea, Donal

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

© перевод на русский язык, «Мир», 2000

В общем случае замена переменных их конкретными значениями из поля называется специализацией, так что вопрос можно сформулировать так: как ведет себя базис Грёбнера при специализации?

In general, the replacement of variables by specific values in a field is called specialization, and the question is how a Groebner basis behaves under specialization.

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал / Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебрыCox, David,Little, John,O'Shea, Donal / Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Cox, David,Little, John,O'Shea, Donal

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

© перевод на русский язык, «Мир», 2000

Отметим теперь, что базис Грёбнера может измениться при каждом преобразовании, но как только элемент стал редуцированным, то он и останется таковым при дальнейших преобразованиях элементов из G (так как старший член не меняется).

The Groebner basis may change each time we do the process, but our earlier observation shows that once an element is reduced, it stays reduced since we never change the leading terms.

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал / Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебрыCox, David,Little, John,O'Shea, Donal / Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Cox, David,Little, John,O'Shea, Donal

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

© перевод на русский язык, «Мир», 2000

В гл. 2 мы определили базис Грёбнера идеала в кольце полиномов для данного мономиального упорядочения и данного основного поля.

In Chapter 2, we defined Groebner bases for an ideal in a polynomial ring, assuming we knew the monomial order and the coefficient field.

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал / Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебрыCox, David,Little, John,O'Shea, Donal / Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Cox, David,Little, John,O'Shea, Donal

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

© перевод на русский язык, «Мир», 2000

Так как 1-векторы и векторы мы рассматриваем как одно и то же, то еь образуют базис в Тx.

Since we consider 1-vectors and vectors as the same, the et- form a base in Tx.

Уитни, Хасслер / Геометрическая теория интегрированияWhitney, Hassler / Geometric Integration Theory

Geometric Integration Theory

Whitney, Hassler

Геометрическая теория интегрирования

Уитни, Хасслер

Отсюда вытекает также, что если есть базис уравнений F, то уравнения образуют базис для уравнений V.

It further follows that if F is a basis for the equations of F, the equations are a basis for the equations of V.

Ходж, В.,Пидо, Д. / Методы алгебраической геометрии. Том 2Hodge, W. V. D,Pedoe, D. / Methods of Algebraic Geometry Volume II

Methods of Algebraic Geometry Volume II

Hodge, W. V. D,Pedoe, D.

© Cambridge University Press

Методы алгебраической геометрии. Том 2

Ходж, В.,Пидо, Д.

Пусть F, где F—однородные многочлены из F, есть базис для уравнений многообразия F.

Let F where F is a homogeneous polynomial in F, be a basis for the equations of F.

Ходж, В.,Пидо, Д. / Методы алгебраической геометрии. Том 2Hodge, W. V. D,Pedoe, D. / Methods of Algebraic Geometry Volume II

Methods of Algebraic Geometry Volume II

Hodge, W. V. D,Pedoe, D.

© Cambridge University Press

Методы алгебраической геометрии. Том 2

Ходж, В.,Пидо, Д.

Эта команда вычисляет базис Грёбнера идеала, порожденного полиномами из списка polylist, по отношению к мономиальному упорядочению, заданному командой torder.

This computes a Groebner basis for the ideal generated by the polynomials in polylist with respect to the monomial ordering specified by torder.

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал / Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебрыCox, David,Little, John,O'Shea, Donal / Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Cox, David,Little, John,O'Shea, Donal

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

© перевод на русский язык, «Мир», 2000

Математики знают решетку в Фурье-области как двойственный базис или взаимный базис векторного пространства, образованного неортогональным базисом.

Mathematicians know the lattice in the Fourier domain as the dual base or reciprocal base of a vector space spanned by a nonorthogonal base.

Яне, Бернд / Цифровая обработка изображенийJähne, Bernd / Digital Image Processing

Digital Image Processing

Jähne, Bernd

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005

Цифровая обработка изображений

Яне, Бернд

© 2005, Springer-Verlag Berlin Heidelberg

© 2006, ЗАО «РИЦ «Техносфера» перевод на русский язык

Этот базис будет минимальным.

This basis is necessarily minimal.

Ходж, В.,Пидо, Д. / Методы алгебраической геометрии. Том 1Hodge, W. V. D,Pedoe, D. / Methods of Algebraic Geometry Volume I

Methods of Algebraic Geometry Volume I

Hodge, W. V. D,Pedoe, D.

© Cambridge University Press

Методы алгебраической геометрии. Том 1

Ходж, В.,Пидо, Д.

Пусть F — базис уравнений V в Sn. Обозначим через F невырожденную матрицу порядка F, элементы которой могут лежать в поле К или в его расширении. Пусть F есть обратная матрица для матрицы а.

Let F be a basis for the equations of V in Sn, let F be a non-singular matrix of F rows and columns, whose elements may lie in F or an extension of K, and let F be the inverse of a.

Ходж, В.,Пидо, Д. / Методы алгебраической геометрии. Том 2Hodge, W. V. D,Pedoe, D. / Methods of Algebraic Geometry Volume II

Methods of Algebraic Geometry Volume II

Hodge, W. V. D,Pedoe, D.

© Cambridge University Press

Методы алгебраической геометрии. Том 2

Ходж, В.,Пидо, Д.

Даже если применяется grevlex-упорядочение (которое, как мы увидим, дает наименьший базис Грёбнера), степени остаются очень большими.

Even when grevlex order is used (which often gives the smallest Groebner bases—see below), the degrees can be quite large.

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал / Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебрыCox, David,Little, John,O'Shea, Donal / Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Cox, David,Little, John,O'Shea, Donal

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

© перевод на русский язык, «Мир», 2000

Таким образом, ортогональный базис двойственен сам себе.

Thus an orthonormal base is dual to itself.

Яне, Бернд / Цифровая обработка изображенийJähne, Bernd / Digital Image Processing

Digital Image Processing

Jähne, Bernd

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005

Цифровая обработка изображений

Яне, Бернд

© 2005, Springer-Verlag Berlin Heidelberg

© 2006, ЗАО «РИЦ «Техносфера» перевод на русский язык

Однако в случае использования lex-упорядочения базис Грёбнера найти очень легко.

However, when we use lex order, it is quite simple to write down a Groebner basis for this ideal.

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал / Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебрыCox, David,Little, John,O'Shea, Donal / Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra

Cox, David,Little, John,O'Shea, Donal

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры

Кокс, Дэвид,Литтл, Джон,О'Ши, Донал

© 1997, 1992 Springer-Verlag New York, Inc.

© перевод на русский язык, «Мир», 2000