рождать надежду — to give birth to hopes
подавать надежду кому-л. — to give hope to smb.
в надежде на что-л. — in the hope (of)
распроститься со всеми надеждами — to say good-bye to all hopes
связывать свои надежды — to pin one's hopes (on)
убить надежды на успех — to dash / destroy every hope of success
возлагать надежды — to rest one's hopes (upon); to set / pin one's hopes (on)