натуральное число

0 есть натуральное число;

0 is a natural number;

Шенфилд, Дж. / Математическая логикаShoenfield, Joseph / Mathematical Logic

Mathematical Logic

Shoenfield, Joseph

© 1967 by Addison-Wesley publishing company, inc.

Математическая логика

Шенфилд, Дж.

© Перевод на русский язык, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975г.

Очевидно, что каждое натуральное число а делится на 1 (отношение равно а) и на а (отношение равно 1).

Obviously any natural number a is divisible by 1 (the quotient being a) and by a (the quotient being 1).

Дэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чиселDavenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

натуральное число k;

a positive integer k;

Прасолов, Виктор В. / МногочленыPrasolov, Victor V / Polynomials

Polynomials

Prasolov, Victor V

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004

Многочлены

Прасолов, Виктор В.

© В. В. Прасолов, 1999, 2001.

© МЦНМО, 1999, 2001.

Линейное преобразование (F) называется линейным преобразованием конечного класса, если (F) для некоторого целого положительного числа i; наименьшее натуральное число (F) удовлетворяющее этому условию, называется классом линейного преобразования (F).

A linear transformation (F) is said to be of finite class, if (F) for some positive i; and the smallest positive integer i with this property is the class of (F).

Бэр, Р. / Линейная алгебра и проективная геометрияBaer, Reinhold / Linear Algebra and Projective Geometry

Linear Algebra and Projective Geometry

Baer, Reinhold

© 1965, by Academic Press

Линейная алгебра и проективная геометрия

Бэр, Р.

© Издательство иностранной литературы, 1955

Большинство предложений теории чисел являются утверждениями о произвольном натуральном числе; например, теорема Лагранжа говорит о том, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов.

Most of the propositions of the theory of numbers make some assertion about every natural number; for example Lagrange's theorem asserts that every natural number is representable as the sum of at most four squares.

Дэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чиселDavenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

Последователем натурального числа является следующее большее натуральное число.)

The successor of a natural number is the next larger natural number.)

Шенфилд, Дж. / Математическая логикаShoenfield, Joseph / Mathematical Logic

Mathematical Logic

Shoenfield, Joseph

© 1967 by Addison-Wesley publishing company, inc.

Математическая логика

Шенфилд, Дж.

© Перевод на русский язык, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975г.

С другой стороны, ясно, что процесс должен окончиться, так как убывающая последовательность а, b, с, ... натуральных чисел не может быть бесконечной.

It is plain that the process must terminate, for the decreasing sequence a,b,c, ... of natural numbers cannot go on for ever.

Дэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чиселDavenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

Это мог быть какой-нибудь элементарный ряд простых натуральных чисел или что-нибудь еще, что угодно, — все равно он бы не отличил его от списка номеров лошадей, на которых ставят на ипподроме.

It might be the most obvious sequence of prime negative ordinals, or whatever, in the world, and he wouldn’t know it from a betting slip.

Робинсон, Питер / Растерзанное сердцеRobinson, Peter / Piece Of My Heart

Piece Of My Heart

Robinson, Peter

© 2006 by Eastvale Enterprises Inc.

Растерзанное сердце

Робинсон, Питер

© 2006 by Eastvale Enterprises Inc.

© А. Капанадзе, перевод на русский язык, 2010

© ООО "Издательская группа "Аттикус", 2010 Издательство Иностранка

В § 5.2 мы будем считать, что заданы два фиксированных натуральных числа m<n, и будем использовать соглашения об обозначениях из 5.1.11.

For use throughout Section 5.2 we fix two positive integers m<n and readopt the notational conventions of 5.1.11.

Федерер, Герберт / Геометрическая теория мерыFederer, Herbert / Geometric measure theory

Geometric measure theory

Federer, Herbert

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996

Геометрическая теория меры

Федерер, Герберт

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. Перевод на русский язык, 1987

Пусть m и n — натуральные числа.

Let m and n be positive integers.

Прасолов, Виктор В. / МногочленыPrasolov, Victor V / Polynomials

Polynomials

Prasolov, Victor V

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004

Многочлены

Прасолов, Виктор В.

© В. В. Прасолов, 1999, 2001.

© МЦНМО, 1999, 2001.

Во-первых, финитное доказательство имеет дело только с конкретными объектами, а их можно заменить натуральными числами, сопоставляя такое число каждому объекту (как мы это про делали с выражениями).

First, a finitary proof deals only with concrete objects, and these may be replaced by natural numbers by assigning such a number to each object (as we have done for expressions).

Шенфилд, Дж. / Математическая логикаShoenfield, Joseph / Mathematical Logic

Mathematical Logic

Shoenfield, Joseph

© 1967 by Addison-Wesley publishing company, inc.

Математическая логика

Шенфилд, Дж.

© Перевод на русский язык, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975г.

Вместе с натуральными числами они образуют систему всех целых чисел:

These, together with the natural numbers, form the system of all integers:

Дэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чиселDavenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

Вернемся к натуральным числам.

Let us return to the natural numbers.

Дэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чиселDavenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

Сами же утверждения относятся непосредственно к натуральным числам, и казалось разумным искать доказательства, не использующие чуждых теории чисел идей.

The propositions themselves relate entirely to the natural numbers, and it seems reasonable that they should be provable without the intervention of such foreign ideas.

Дэвенпорт, Г. / Высшая арифметика: введение в теорию чиселDavenport, H. / The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers

Davenport, H.

© the Estate of H. Davenport 1962, 1968, 1970, 1982

Высшая арифметика: введение в теорию чисел

Дэвенпорт, Г.

В следующем параграфе мы получим определение натурального числа в теории ZF.

We shall obtain a definition of natural number in ZF in the next section.

Шенфилд, Дж. / Математическая логикаShoenfield, Joseph / Mathematical Logic

Mathematical Logic

Shoenfield, Joseph

© 1967 by Addison-Wesley publishing company, inc.

Математическая логика

Шенфилд, Дж.

© Перевод на русский язык, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975г.