What are you after(?) или Are you regarding this/that matter?

Например: "Вы по поводу пропавшей собаки?" как будет выглядеть в этих выражениях?

(Are you calling) regarding that missing dog? Примерно так, если дополнить контекст.

телефонный звонок?
Are you calling about the missing dog?

Нет. Переписка

Are you enquiring regarding that missing dog?

А менее официальные варианты есть? И можно ли без That обойтись? Если будет, например: "Вы по поводу занятий?"

Are you here about your training(?) в таком контексте?

Нет. Переписка

Что-то я с трудом могу представить себе, что вам кто-то пишет и вы спрашиваете, по какому поводу он вам пишет.

А вы можете?

В customer services типичный ответ/вопрос - How can I help you (today)?

Would you like to inquire of something?

grumbler, да. Если менеджер отвечает за несколько направлений деятельности в компании. Ему может писать как клиент, так и рекламодатель.

Кто бы ни писал, я все равно не могу представить ситуацию, когда надо переспрашивать, по какому поводу пишут.