This has two interpretations:

(1) Someone is watching a group of people and is asked what they’re doing as (s)he’s observing THEM.

(2) In asking someone for a prediction based on their experience or intelligence as to what someone will do in the future or as their next move.
[consulting your attorney]: Once we present the lawsuit and a court date has been set, what do you see them doing? [=in your opinion and experience, what do you think they’ll do?]

THEM because in English, we say, literally: я ИХ вижу, играя теннис [I see THEM playing tennis]

я ИХ вижу, играющих в теннис

I was being literal, using English syntax with Russian words.

Не совсем
я ИХ вижу, играя теннис = я, играя в теннис, их вижу

Ok. But, there is no context of prediction in this message:
"Do you see people doing sport or exercise in your town? What do you see THEM doing?"
why is "them" here? Here we mean "what do you think, they will do in the future"?

I gave you two interpretations with no context. Now that you have a context, you can choose the appropriate one. In this case, it’s the first interpretation applies.

*Here we DON’T mean “what do you think [no comma] THEY’LL do in the future?”

*Ok, THANK YOU, but *there’s no context…

thumbs up))

Артём, так работает грамматика английского языка: мы не можем сказать “what do you see they doing” - это грамматически некорректно. Здесь только them возможно.
- What do you see them doing?
- I see them having a picnic.

- What do you see him doing?
- I see him walking his dog.

- What do you see her doing?
- I see her talking on the phone.

Не зависимо от того, в каком из двух возможных контекстов, данных вам Ули, вы используете “them doing”, всё равно будет “them”, и никогда не будет “they”.
Them здесь - это ИХ, а не ОНИ.
Я вижу ИХ, делающих что-либо.

Первое правило, чтобы начать вникать в устройство английской грамматики: необходимо отключить желание подогнать логику английской грамматики под логику русской. Это два абсолютно разных языка.

You gave him golden advice, HolyMoly!

Хорошо, благодарю! Про это есть юнит в Мёрфи красном или синем? Или где можно ознакомиться с правилом?

Uly, thank you very much!

Anytime))

Artëm, just learn the pattern. You use it with any verb of cognition like hear, see, feel, catch, etc. plus a progressive form:

⦿ I know my wife didn’t sleep well last night because I felt HER turnING every five minutes.
⦿ Your son’s a prodigy. I just heard HIM playING the violin and almost fell over.
⦿ My girlfriend and I are over! Last night, I caught/saw HER kissING my best friend.

Another point:

With the verbs SEE, WATCH and HEAR, you can use the progressive of the action perceived if you observed it at any point while it was happening, or use the plain verb if you say the whole thing from beginning to end:

⦿ I saw him crossING the street.
=I saw him in the middle of the street

⦿ I saw him CROSS the street.
=I watched the whole scene from beginning to end

⦿ I heard him singING the National Anthem.
=When I walked into the apartment, he was singing it in the shower

⦿ I heard him SING the National Anthem.
=he sang it from beginning to end

По-моему, так в русском ЛОГИКА такая же, только слово "как/что" часто выпадает
я вижу их танцующих
я вижу, (как/что) они танцуют - и ЗАПЯТУЮ здесь никак не выкинешь.
Другое дело, что первый вариант практически не используется, но это уже не грамматика.
В английском же возможны оба варианта
I see them dancing
I see that they ARE dancing

Also, to understand this topic better, you need to learn how pronouns work. You can read about it here, for example:

https://dictionary.cambridge.org/grammar/british-grammar/pronouns-personal-i-me-you-him-it-they-etc

grumbler, по русски нет разницы между «я вижу их танцующих» и «я вижу, как они танцуют». Ули говорил о другом.
“I saw them dancing” and “I saw them dance” - имеют разный смысл.

Мой комментарий относился к другому, а именно к "подогнать логику английской грамматики под логику русской". В первоначальном вопросе (continuous) подогнать, по-моему, можно.

Кстати, в прошедшем/будущем времени и первый вариант используется.

Нельзя подогнать. В этом проблема всех, кто десятилетиями учит английский, и никак не может выучить.

>>

Кстати, в прошедшем/будущем времени и первый вариант используется.
>>>

Какой вариант?

>>В английском же возможны оба варианта
I see them dancing
I see that they ARE dancing
>>
Варианты-то возможны, только смысл у них абсолютно разный.

Может быть и разный, но я особой разницы не вижу.

Прошедшее:
Я видел их целующихся
Я видел, как они целовались

Будущее:
Если увижу вас курящих, вам не поздоровится.
Если увижу, что вы курите,....

I don’t see the point of bringing in the THAT-phrase. It has nothing to do with what Artëm is asking about. Anything that follows THAT is an independent sentence in and of itself. I SEE THAT THEY’RE DANCING is a confirmation composed of two complete and independent clauses; I SEE THEM DANCING is a dependent construct expression perception through syntax/grammar in ONE clause.

grumbler, то, что вы не видите разницы, говорит только о том, что вы эту разницу не понимаете в силу недостатка грамматических знаний. Вы, вроде, живёте в Великобритании? Спросите местных, они вам разъяснят разницу на пальцах, что называется. Вы как раз делаете именно то, о чем я выше говорила, а именно натягиваете своё русскую логику на английский. Отсюда недопонимание разницы между всеми этими конструкциями В АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ.

ЕСЛИ будет проблема с пониманием, обязательно спрошу.

Честно, иногда создаётся ощущение, что вы спорите ради спора. Человек пришёл спросит об определенной грамматической конструкции, почему в ней именно them, а не they. Вы же начинаете дебаты о вещах, не имеющих к вопросу прямого отношения. Причём здесь все остальные конструкции? Они строятся иначе и имеют иной смысл.

>>

ЕСЛИ будет проблема с пониманием, обязательно спрошу.
>>
Так она уже есть. Спрашивать или нет, решать вам. Никто же не может вас заставить. Я это говорю не для того, чтобы вас обидеть.

Хорошо, почему бы вам не объяснить СМЫСЛ исходного вопроса или, луше, утвердительного I see them playing tennis?

По поводу
I saw them dancing
I see them dance.

Первое предложение означает, что он пришёл и застал их танцующими.
Второе, что он видел весь танец от начала до конца. Например он смотрел соревнования по бальным танцам. Или был на свадьбе и вместе со всеми видел, как жених и невеста танцевали свой свадебный танец.

Возможно, я, что-то не понимаю, но я не согласен. Времена в оригинале и в толковании совершенно разные. И Ули для второго выше предлагал dance

он застал их

В первоначальном вопросе тоже застал?

I see them playing tennis = I вижу, как они играют в теннис. Человек наблюдает за процессом. It’s and observation.

I see that they are playing tennis. = Я вижу, что они играют в теннис. Это констатация факта. That’s a statement.

Чтобы было понятнее, приведу другие примеры:

- Look at the picture. There’s a group of people in it. What do you see them doing?
- I see them playing cards.

- Hi all, sorry to interrupt, I just wanted to invite you all over to my place for dinner, but I see that you’re playing cards.

В первоначальном вопросе он обозревает действие. Настоящее или прошедшее время для этой конструкции не имеет значение. Всё равно будет them. I see them doing/I saw them doing/do.

Можете считать меня идиотом, но я существенной разницы не вижу. Ни в смысле, ни между observation and statement.

Грамблер живет в Великобритании?!))

А конструкции действительно разные.

Вы, вроде, живёте в Великобритании?

Если бы это было так, Грамби не стал бы натягивать русскую логику))

You’re not an idiot. You just keep thinking in Russian:)

Настоящее или прошедшее время для этой конструкции не имеет значение. Всё равно будет them.

А при чем тут them и время?!

Вы не про это спорите?

I see them playing tennis = Я вижу их играющими в теннис (Но может они играют и не в теннис, а во что-то другое, но я их вижу именно как играющими в теннис).

I see that they are playing tennis. = Я вижу, что они сейчас играют в теннис (Я утверждаю что они играют именно в теннис).

- Look at the picture. There’s a group of people in it. What do you see them doing?
- They're playing cards.

А так можно же?

По-моему, НМ просто угорает 😆

>>>

I see them playing tennis = Я вижу их играющими в теннис (Но может они играют и не в теннис, а во что-то другое, но я их вижу именно как играющими в теннис).

I see that they are playing tennis. = Я вижу, что они сейчас играют в теннис (Я утверждаю что они играют именно в теннис).
>>>
Нет, Артём, мы спорим не об этом, и приведённые вам толкования не верны.

The difference is that I SEE THEM PLAYING CARDS is a self-contained observation headed by a verb of perception where the verb takes an object and incorporates the object’s action. This is grammatically possible thanks to the pattern [verb of perception] + [direct object] + [participle] <— one self-contained construct (and the one Artëm asked about).

I SEE that THEY’RE PLAYING CARDS is actually two individual clauses linked by the conjunction THAT. Here, each proposition is independent and thus has its own indendent subject phrase and verb phrase: I SEE and THEY’RE PLAYING.

Это опять грамматика/конструкции. Дискуссия идет о СУЩЕСТВЕННОЙ разнице в смысле.

https://youtu.be/DDjoouqRnhk?t=32

Понятно что в конструкциях есть разница, но в смыслах предложений я разницы тоже не вижу и солидарен с grumbler.
Что «I see them playing tennis», что “I see that they are playing tennis” по смыслу одно и тоже.
Но спорить и утверждать не буду, я всего лишь интермедиейт.

Ули, разница В СМЫСЛЕ есть?

Yes.
On a job interview...
[looking at my résumé]
HR: I see that you speak Russian.
[❌ I see you speaking Russian]

[at work]
COWORKER: I hear you speak Russian.
ME: Yeah... Who told you?
COWORKER: I hear you speaking with the Russian staff.
[❌ I hear that you speak with the Russian staff]

Артем, это всего лишь два случая, когда между этими типами высказываний есть разница. Я не собираюсь за ужином распутывать очередную Грамблерскую кашу, так что если тебе нужны еще примеры, спрашивай в отдельном посте. Этот уже до смешного длинный.

Вon appétit! 😆

😂

А в каком случае можно сказать I hear that you speak with the Russian staff? Я слышал, что вы имеете обыкновение разговаривать с русским персоналом? - Такой смысл?

Да 👏

Ули, а что у тебя сегодня на ужин?

Мы с братом заказали таиландскую еду 😋

Сейчас бы тайского супчика... Двадцать лет прошло, а никак забыть не могу!

Очень интересная дискуссия! 🔥
Артём, почитайте ещё здесь.
https://engblog.ru/complex-object

То бишь, разница в конкретном действии СЕЙЧАС и регулярном действии ВООБЩЕ, как между Continuous и Indefinite в ином случае.

grumbler: я ИХ вижу, играющих в теннис

Здесь grumbler верно поправил, я с ним согласен.
Нам в русском в таком случае нужно использовать (для понимания) причастие действительное, а Ули перед этим использовал деепричастие, что меняет смысл на противоположный. (Английская инговая форма может передаваться на русский как действительным причастием, так и деепричастием, но это не одно и то же.)

Here's another difference:

You can use I SEE (THAT) YOU'RE -ING even if they're not doing it at the moment. For instance, if you walk into someone's bedroom and see War and Peace on the night table, you can say I SEE YOU'RE READING WAR AND PEACE. Here, you could never say I SEE YOU READING WAR AND PEACE.