Elena, "give best" значит именно не сдаваться, а признать, что соперник одержал победу, признать, что он - лучше тебя.
Даю пример: At the end of the tennis game with Jim, although the score was even, I had to give him best as he was clearly the better player.
Приведенный Вами пример, на самом деле, при внимательном прочтении даст то же самое значение, но никак не сдаваться.

Даю еще один пример, в котором разница значений, на мой взгляд, обнажится максимально: I have to give you best, but I don’t give up.

отдаю тебе должное - ты лучший ¿

Alex Sos, я думаю оба перевода верны.
https://idioms.thefreedictionary.com/give+you+best
= admit the superiority of; give way to

Ладно, я с Вами почти согласилась). Только необязательно о победе речь, а вообще о чьем-либо превосходстве.