Даниил, во-первых мы можем сказать "I don't have any pens", просто звучит эта фраза странно. Если человек хочет сказать, что у него нет ручки, он скажет просто "I don't have a pen", а фраза "I don't have any pens" означает, что у него вообще никаких ручек нет. Так, скорее всего, никто просто не скажет, но, повторю, грамматически фраза правильная.
Да, нельзя сказать "I have no any pens", потому что либо вы говорите "I have no pens" (что уже сообщает о том, что у вас нет ручек"), либо вы говорите "I don't have any pens" (по поводу целесообразности этой фразы я выше уже написала). "Any" употребляется только в вопросах и отрицаниях. После "no" в отрицаниях "any" употребляться не может.