Если имя,то, скорее, Jim, как в английском.

Если с маленькой буквы, то: тренировочный зал (можно встретить названия арена, GYM, гим, джим, качалка)
http://www.bolshoyvopros.ru/questions/2125070-pokemon-go-kak-nachat-trenirovatsja-v-trenirovochnyh-zalah.html