Не подходит, уточняла( объяснили, что заказчиком может являться и начальник , например начальник (заказчик) попросил провести для работников тренинг. Слово начальник тоже не подходит, нужен нормальный синоним для client - можно requesting party? Или так не говорят. ((

requesting party не так уж и плохо.

еще когда имеется ввиду именно тот кто заплатил за заказ и кому надо отправить счет, это "billing company" или "billing address"

Client - совершенно нормальный термин для заказчика / получателя услуги.

"On signing this contract you, the client, agree and are bound by the terms and conditions as enclosed.
...
Signed on behalf of Company ..."

Quoted from the real venue+catering+accommodation booking contract in front of me.

Для частных лиц - customer