"Shall we have classes today?" это скорее "Стоит ли нам пойти сегодня на занятия?"
"Have we got classes today?" - это какой-то совершенно не уместный в данном случае "present perfect"
Так что просто "Do we have...".

Have got в данном примере - это не Present Perfect вовсе. Это оборот, в разговорной речи в настоящем времени употребляется для выражения значения иметь, обладать. Все правильно написано

Действительно, "have got" это не Present Perfect от глагола "to get". И "have got" используется в английской речи очень часто. НО эта форма не может использоваться по отношению к событиям, времени событий и так далее. Она вообще используется ТОЛЬКО в следующих случаях:
- когда речь идет о родственных связях (I've got a brother etc.)
- когда мы говорим о чем-то, чем мы владеем (He's got a nice car), сюда же относится вопрос "Have you got a minute?"
- когда мы говорим о человеке, а именно описываем его внешность (She's got blue eyes).
- когда мы говорим о самочувствии, болезни (I've got a headache).
Во всех других случаях употребление "have got" является грамматической ошибкой.

Спасибо за комментарии. Так говорили сами англичане (в разговорной, не самой официальной речи)

Говорили о событиях? Уроках, предстоящем ужине и так далее? Прям так и говорили: have we got a dinner today at 7 o'clock?

Интересные англичане :))

ведь have got это разговорный простой вариант официального do...have... и ничего более

Нет, Елена, вы ошибаетесь :) и англичане никогда не употребят "have got" с событиями и действиями.

Да, Вы правы, Ольга. Потому что to have classes это устойчивое выражение, have got нельзя употребить

Дело не столько в устойчивости выражения, сколько в том, что нельзя употреблять "have got" с событиями. Никто не скажет "I have got breakfast at five/ I have got classes today/ I have got a nap every day" и так далее. Have got - это действительно менее формальная форма "have", но её употребление ограниченно.