слово area - это во-первых чисто геометрический термин - площадь. если же мы говорим о географии - то это большая область, без определенных границ. возможно использование слова "зона".

district - обычно "район" - относительно небольшая область (например в городе) с четко определенными границами.

region - обычно то же что и district, только больше, например, а масштабах страны. регион.