гиперболический

. Если бы результат был заметно меньше 180°, то отсюда следовало бы, что гиперболическая геометрия лучше подходит для описания внешнего мира.

Had the result been noticeably less than 180°, the consequence would have been that hyperbolic geometry is preferable to describe physical reality.

Курант, Р.,Роббинс, Г. / Что такое математика? Элементарный очерк идей и методовCourant, Richard,Robbins, Herbert / What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods

What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods

Courant, Richard,Robbins, Herbert

© 1941 (renewed 1969) by Richard Courant

© 1996 by Oxford University Press, Inc.

Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов

Курант, Р.,Роббинс, Г.

© МЦНМО, 2001

Но, после того как гиперболическая геометрия открыла путь к свободному построению геометрий, естественно возник вопрос о том, нельзя ли осуществить построение таких неевклидовых геометрий, в которых прямые линии конечны и замкнуты.

But after hyperbolic geometry had opened the way for freedom in constructing geometries, it was only natural to ask whether different non-Euclidean geometries could be constructed in which a straight line is not infinite but finite and closed.

Курант, Р.,Роббинс, Г. / Что такое математика? Элементарный очерк идей и методовCourant, Richard,Robbins, Herbert / What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods

What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods

Courant, Richard,Robbins, Herbert

© 1941 (renewed 1969) by Richard Courant

© 1996 by Oxford University Press, Inc.

Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов

Курант, Р.,Роббинс, Г.

© МЦНМО, 2001

Асимптотически гиперболические С. В.

ASYMPTOTICALLY HYPERBOLIC R.V.

Мандельброт, Бенуа / Фрактальная геометрия природыMandelbrot, Benoit / The Fractal Geometry of Nature

The Fractal Geometry of Nature

Mandelbrot, Benoit

© 1977, 1982, 1983 by Benoit B. Mandelbrot

Фрактальная геометрия природы

Мандельброт, Бенуа

© Б. Мандельброт, 2002

© Перевод на русский язык, Институт компьютерных исследований, 2002

Уравнения движения идеальной жидкости не являются гиперболическими уравнениями второго порядка, а образуют квазилинейную систему первого порядка.

The equations of a perfect fluid are not second order hyperbolic, but form a quasi-linear first otder system.

Хокинг, Стивен,Эллис, Дж. / Крупномасштабная структура пространства-времениHawking, Stephen,Ellis, G.F.R. / The large scale structure of space-time

The large scale structure of space-time

Hawking, Stephen,Ellis, G.F.R.

© Cambridge University Press 1973

Крупномасштабная структура пространства-времени

Хокинг, Стивен,Эллис, Дж.

© Cambridge University Press, 1973

© Перевод на русский язык, «Мир», 1977

Идея о том, что такое гиперболическое движение заряженной частицы не приводит к излучению, была впервые выдвинута Паули.

The idea that this hyperbolic motion of a charged particle does not lead to the emission of radiation was first put forward by Pauli

Пайерлс, Р. / Сюрпризы в теоретической физикеPeierls, Rudolf / Surprises in Theoretical Physics

Surprises in Theoretical Physics

Peierls, Rudolf

© 1979 by Princeton University Press

Сюрпризы в теоретической физике

Пайерлс, Р.

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. Перевод на русский язык 1988

© Princeton University Press, 1979

Мы начинаем со сводки основных соотношений для них и далее проводим обобщение на случай гиперболических и сферических пространственных сечений.

We start by summarizing the essential formulae, and then extend them to Robertson- Walker spacetimes with hyperbolic and spherical spatial sections.

Биррелл, Н.,Девис, П. / Квантованные поля в искривленном пространстве-времениBirrell, N.D.,Davies, P.C.W. / Quantum fields in curved space

Quantum fields in curved space

Birrell, N.D.,Davies, P.C.W.

© Cambridge University Press 1982

Квантованные поля в искривленном пространстве-времени

Биррелл, Н.,Девис, П.

© Cambridge University Press, 1982

© Перевод на русский язык, «Мир», 1984

Различие чрезвычайно значительно, так как при гиперболическом распределении получается гораздо больше ресурсов, чем при логарифмически нормальном.

The difference is extremely significant, the reserves being much higher under the hyperbolic than under the lognormal law.

Мандельброт, Бенуа / Фрактальная геометрия природыMandelbrot, Benoit / The Fractal Geometry of Nature

The Fractal Geometry of Nature

Mandelbrot, Benoit

© 1977, 1982, 1983 by Benoit B. Mandelbrot

Фрактальная геометрия природы

Мандельброт, Бенуа

© Б. Мандельброт, 2002

© Перевод на русский язык, Институт компьютерных исследований, 2002

Для простоты мы ограничимся лишь случаем пустого пространства, но аналогичные аргументы имеют силу и в присутствии материальных полей, подобных электромагнитному и скалярному, которые подчиняются хорошо определенным гиперболическим уравнениям.

For simplicity we shall consider only the empty space case, but similar arguments hold in the presence of matter fields, like the electromagnetic or scalar fields, which obey well-behaved hyperbolic equations.

Хокинг, Стивен,Эллис, Дж. / Крупномасштабная структура пространства-времениHawking, Stephen,Ellis, G.F.R. / The large scale structure of space-time

The large scale structure of space-time

Hawking, Stephen,Ellis, G.F.R.

© Cambridge University Press 1973

Крупномасштабная структура пространства-времени

Хокинг, Стивен,Эллис, Дж.

© Cambridge University Press, 1973

© Перевод на русский язык, «Мир», 1977

Ближайшие родственники фракталов — гиперболические распределения вероятностей.

Most closely related to fractals are the hyperbolic probability distributions.

Мандельброт, Бенуа / Фрактальная геометрия природыMandelbrot, Benoit / The Fractal Geometry of Nature

The Fractal Geometry of Nature

Mandelbrot, Benoit

© 1977, 1982, 1983 by Benoit B. Mandelbrot

Фрактальная геометрия природы

Мандельброт, Бенуа

© Б. Мандельброт, 2002

© Перевод на русский язык, Институт компьютерных исследований, 2002

Длины пустот составляют в сумме единицу и следуют гиперболическому распределению Рг(Р > и) = Fu~D.

The lengths of the gaps add up to 1, and follow the hyperbolic distribution Pr(U>u) = Fu"D.

Мандельброт, Бенуа / Фрактальная геометрия природыMandelbrot, Benoit / The Fractal Geometry of Nature

The Fractal Geometry of Nature

Mandelbrot, Benoit

© 1977, 1982, 1983 by Benoit B. Mandelbrot

Фрактальная геометрия природы

Мандельброт, Бенуа

© Б. Мандельброт, 2002

© Перевод на русский язык, Институт компьютерных исследований, 2002

Мы отметили также, что Корчак [279] полагает распределение площадей А гиперболическим: ¥г(А > а) = Fa~B.

We report that Korcak 1938 gives the distribution of A as hyperbolic: Pr(A>a) = Fa"B.

Мандельброт, Бенуа / Фрактальная геометрия природыMandelbrot, Benoit / The Fractal Geometry of Nature

The Fractal Geometry of Nature

Mandelbrot, Benoit

© 1977, 1982, 1983 by Benoit B. Mandelbrot

Фрактальная геометрия природы

Мандельброт, Бенуа

© Б. Мандельброт, 2002

© Перевод на русский язык, Институт компьютерных исследований, 2002

Чтобы изобразить гиперболический параболоид другим способом, перейдем к полярным координатам:

Change to polar coordinates for another way of visualizing the hyperbolic paraboloid:

Франсис, Дж. / Книжка с картинками по топологииFrancis, George / A topological picturebook

A topological picturebook

Francis, George

© 1987 by Springer-Verlag New York Inc.

Книжка с картинками по топологии

Франсис, Дж.

© 1987 by Springer-Verlag New York Inc.

© перевод на русский язык, Н. Ю. Нецветаев, 1991

В качестве первого примера рассмотрим четырехмерное статическое гиперболическое пространство-время Робертсона— Уокера, которое обсуждалось в разд. 5.2.

As a first illustration, consider the four-dimensional static, hyperbolic Robertson-Walker spacetime, which has been discussed in §5.2

Биррелл, Н.,Девис, П. / Квантованные поля в искривленном пространстве-времениBirrell, N.D.,Davies, P.C.W. / Quantum fields in curved space

Quantum fields in curved space

Birrell, N.D.,Davies, P.C.W.

© Cambridge University Press 1982

Квантованные поля в искривленном пространстве-времени

Биррелл, Н.,Девис, П.

© Cambridge University Press, 1982

© Перевод на русский язык, «Мир», 1984

В монографии Лакса и Филлипса [2] изучен целый ряд вопросов, относящихся к методу волновых операторов, который мы рассмотрели в § 4, в связи с анализом различных классов гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных.

The monograph of Peter Lax and Ralph Phillips [2] studies a set of questions related to the wave operator methods of Section 4, in connection with an analysis of various classes of hyperbolic partial differential equations.

Данфорд, Н.,Шварц, Дж. / Линейные операторы. Спектральные операторыDunford, Nelson,Schwartz, Jacob / Linear operators. Part III: Spectral operators

Linear operators. Part III: Spectral operators

Dunford, Nelson,Schwartz, Jacob

© 1971, by John Wiley & Sons, Inc., Nelson Dunford and Jacob Schwartz

Линейные операторы. Спектральные операторы

Данфорд, Н.,Шварц, Дж.

© Перевод на русский язык, "Мир", 1973

Среди достоинств гиперболического распределения отметим непревзойденную формальную простоту и инвариантность при усечении (см. раздел МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИ УСЕЧЕНИИ).

The hyperbolic distribution is of unbeatable formal simplicity, and is invariant under truncation (see the entry SCALING UNDER TRUNCATION).

Мандельброт, Бенуа / Фрактальная геометрия природыMandelbrot, Benoit / The Fractal Geometry of Nature

The Fractal Geometry of Nature

Mandelbrot, Benoit

© 1977, 1982, 1983 by Benoit B. Mandelbrot

Фрактальная геометрия природы

Мандельброт, Бенуа

© Б. Мандельброт, 2002

© Перевод на русский язык, Институт компьютерных исследований, 2002