as soon as possible - ? Или это слишком формально?

as soon as possible - is the best option here

для этого в русском есть "как можно быстрее", что, IMO, более сильно, чем просто "быстрее".

grumbler, you know that " the sooner the better" means literally "чем быстрее, тем лучше" which is little far from just "хочу быстрее выйти на улицу." Saying as soon as possible may not be exact match but imho closer than " the sooner the better".

Also, pay attention that using "get out" in your translation is too broad. You can get out of your room or get out of your car or get out of contract or get out of someone's life and so on... Therefore, saying "I want to get out the sooner the better" does not indicate you want to быстрее выйти на улицу. It can be anything I named above. While "get outside/outdoors" is pretty straight forward and right to the point.

Насчет get out - согласен, но трудно представить ситуацию, в которой это может звучать неоднозначно.
ASAP - на мой взгляд, это очень категорично, почти как приказ. Я не спорю в принципе, а только с категорическим "the best option"

а почему sooner, а не faster?

потому, что здесь "быстрее" - о времени, а не о скорости.
Оказаться на улице побыстрее, а не идти/бежать на улицу побыстрее.

и чем отличается go outside, get out и into the street?

into the street - это на городскую улицу, а не например, во двор. Да и то обчно to, а не into. Как и в русском, to the street може иметь и более широкое значение.

outside - можно сказать и, например, из парка, т.е. не всегда означает "на улицу".

out - еще более широко, м.б. и, например, из ситуации/положения.

outdoors - самое однозначное слово, но опять же, в большинстве случаев обойдутся без него, потому что и так понятно, о чем речь.

outdoors - это, на мой взгляд, чаще об одежде, activities, spend time или о расплоложении вне дома.

вроде как go out - это проводить время вне дома, где-нибудь тусоваться; go outside - типа вырваться на волю, во вне; с into / to the street понятно

?

??

вроде как go out - это проводить время вне дома, где-нибудь тусоваться, верно?

go outside - типа вырваться на волю, во вне, верно?

с into / to the street понятно

вроде как go out - это проводить время вне дома, ... , верно?

Верно - в контексте. И go, а не get.

go outside - типа вырваться на волю, во вне, верно?

Почему "вырваться" и "на волю"?
"Coronavirus has left Britons scared to go outside. "
"They hate when you go outside the lines"