Тогда в русском предложении должен быть союз НО.
Я позвоню, но не вам.
Я позвоню, но не тебе, и не ему.

Хорошо,

I will call but not neither you nor him

или

I will call but neither you nor him

?

Мне кажется, что это "not" не записывается в счётчик отрицаний, просто если мы его не поставим, всё выглядит как

I will call but neither you or him will help me
Я позвоню, но ни ты, ни он мне не помогут

То есть "neither you or him" здесь начинает уже новую часть, а не продолжает старую. Из этого можно вычленить и то, что звонить то я буду как раз-таки им, но они не помогут, а мне нужен смысл, что буду звонить, но среди тех, кому будут звонить, не будет ни тебя, ни его.

Я только на русский обратила внимание.)

I will call but neither you nor him. Это ближе к вашей теме)) мне больше нравится

(1) Я не позвоню ни тебе, ни ему - правильно
(2) Я позвоню ни тебе, ни ему - так по-русски не говорят
I will call neither you nor him = (1)
I will call but not neither you nor him - неправильно
I will call, but neither you nor him = позвоню, но ни тебе, ни ему

1) Добавить "not" к "neither you nor him" можно или это будет двойное отрицание?

2) Нужно ли добавлять "someone/someone else" к "I will call", чтобы носители не возмущались, что есть какая-то недоговорка по типу

I will do

"Do what? At least "it" is needed"

Михаил молодец, глубоко в английский роет))